2018年11月04日

平成30年度 技術士第一次試験問題 情報工学部門 V−14

V−14
シグモイド関数 f(X) = 1/(1+e-X) の記述のうち、最も適切な
ものはどれか。

 @ X=−1のとき、値は0である。
 A X=0のとき、Xについての第2次導関数の値は1である。
 B X=0のとき、値はおよそ0.1である。
 C Xの絶対値が5のとき、値はおよそ0.99である。
 D 接線の傾きは、X=0において最大となる。



【正解】 D

シグモイド関数は、ニューラルネットワークの活性化関数として使われる。

y = 1/f(x) を微分すると
y' = -f'(x)/f(x)2 だから

f(x) = 1/(1+e-X) を微分すると
f'(x) = −(1+e-X)' /(1+e-X)2 = e-X/(1+e-X)2
 = 1/(1+e-X) × (1+e-X−1) /(1+e-X)
 = f(x) × (1−f(x)) である。

さらに、f'(x) = f(x) × (1−f(x)) を微分すると
f''(x) =
f(x)' × (1−f(x)) + f(x) × (1−f(x))'
f(x) × (1−f(x)) × (1−f(x)) f(x) × f(x) × (1−f(x))
= f(x)× (1−f(x)) × (1−f(x)−f(x))
= f(x)× (1−f(x)) × (1−2f(x)) である。

また、e=2.718・・・である。

これらを踏まえる。

@ f(−1) = 1/(1+e) = 1/(1+2.718) 
A f(0) = 1/(1+e0) = 1/2 より
 f''(0) = f(0)× (1−f(0)) × (1−2f(0)) = f(0)× (1−f(0)) × (1−1) = 0
B f(0) = 1/(1+e0) = 1/2 
C f(5) = 1/(1+e-5) ≒ 0.9933 だが、
 f(−5) = 1/(1+e5) ≒ 0.0067
D 正しい。
 f'(x) = f(x) × (1−f(x)) = −(f(x)2 − f(x))
 = −(f(x)2 −f(x) + 1/4 − 1/4)
 = −(f(x) - 1/2)2 + 1/4 
 従って、 f(x) = 1/2 の時に接線の傾きが最大で1/4となる。
 f(x) = 1/(1+e-X) = 1/2 となるのは 
x=0の時である。

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posted by ファーストマクロ at 09:24| Comment(0) | H30技術士一次試験(情報工学)
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