シグモイド関数 ｆ(Ｘ) ＝ １／(１＋ｅ-X) の記述のうち、最も適切な
ものはどれか。
① Ｘ＝－１のとき、値は０である。
② Ｘ＝０のとき、Xについての第２次導関数の値は１である。
③ Ｘ＝０のとき、値はおよそ０．１である。
④ Ｘの絶対値が５のとき、値はおよそ０．９９である。
⑤ 接線の傾きは、Ｘ＝０において最大となる。
シグモイド関数は、ニューラルネットワークの活性化関数として使われる。
ｙ ＝ １／ｆ(ｘ) を微分すると
ｙ' ＝ -ｆ'(ｘ)／ｆ(ｘ)2 だから
ｆ(ｘ) ＝ １／(１＋ｅ-X) を微分すると
ｆ'(ｘ) ＝ －(１＋ｅ-X)' ／(１＋ｅ-X)2 ＝ ｅ-X／(１＋ｅ-X)2
＝ １／(１＋ｅ-X) × (１＋ｅ-X－１) ／(１＋ｅ-X)
＝ ｆ(ｘ) × (１－ｆ(ｘ)) である。
さらに、ｆ'(ｘ) ＝ ｆ(ｘ) × (１－ｆ(ｘ)) を微分すると
ｆ''(ｘ) ＝ ｆ(ｘ)' × (１－ｆ(ｘ)) ＋ ｆ(ｘ) × (１－ｆ(ｘ))'
＝ ｆ(ｘ) × (１－ｆ(ｘ)) × (１－ｆ(ｘ)) － ｆ(ｘ) × ｆ(ｘ) × (１－ｆ(ｘ))
＝ ｆ(ｘ)× (１－ｆ(ｘ)) × (１－ｆ(ｘ)－ｆ(ｘ))
＝ ｆ(ｘ)× (１－ｆ(ｘ)) × (１－２ｆ(ｘ)) である。
また、ｅ＝２．７１８・・・である。
これらを踏まえる。
① ｆ(－１) ＝ １／(１＋ｅ) ＝ １／（１＋２．７１８）
② ｆ(０） ＝ １／(１＋ｅ0) ＝ １／２ より
ｆ''（０） ＝ ｆ(０)× (１－ｆ(０)) × (１－２ｆ(０)) ＝ ｆ(０)× (１－ｆ(０)) × (１－１） ＝ ０
③ ｆ(０） ＝ １／(１＋ｅ0) ＝ １／２
④ ｆ(５） ＝ １／(１＋ｅ-5) ≒ ０．９９３３ だが、
ｆ（－５） ＝ １／(１＋ｅ5) ≒ ０．００６７
⑤ 正しい。
ｆ'(ｘ) ＝ ｆ(ｘ) × (１－ｆ(ｘ)) ＝ －(ｆ(ｘ)2 － ｆ(ｘ))
＝ －(ｆ(ｘ)2 －ｆ(ｘ) ＋ １／４ － １／４）
＝ －(ｆ(ｘ) - １／２)2 ＋ １／４
従って、 ｆ(ｘ) ＝ １／２ の時に接線の傾きが最大で１／４となる。
ｆ(ｘ) ＝ １／(１＋ｅ-X) ＝ １／２ となるのは ｘ＝０の時である。
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