問１
集合Ａ、Ｂ、Ｃを使った等式のうち、集合Ａ、Ｂ、Ｃ の内容によらず常に成立する等式はどれか。ここで、∪は和集合、∩は積集合を示す。
ア (Ａ∪Ｂ) ∩ (Ａ∩Ｃ) ＝ Ｂ ∩ (Ａ∪Ｃ)
イ (Ａ∪Ｂ) ∩ Ｃ ＝ (Ａ∪Ｃ) ∩ (Ｂ∪Ｃ)
ウ (Ａ∩Ｂ) ∪ (Ｂ∩Ａ) ＝ (Ａ∩Ｂ) ∪ (Ｂ∩Ｃ)
エ (Ａ∩Ｃ) ∪ (Ｂ∩Ｃ) ＝ (Ａ∪Ｂ) ∩ Ｃ
正解
エ
解説
集合の分配法則は以下の通りである。
Ａ∩(Ｂ∪Ｃ) ＝ (Ａ∩Ｂ)∪(Ａ∩Ｃ)
(Ａ∪Ｂ)∩Ｃ ＝ (Ａ∩Ｃ)∪(Ｂ∩Ｃ)
Ａ∪(Ｂ∩Ｃ) ＝ (Ａ∪Ｂ)∩(Ａ∪Ｃ)
(Ａ∩Ｂ)∪Ｃ ＝ (Ａ∪Ｃ)∩(Ｂ∪Ｃ)
これを踏まえる。
ア (Ａ∪Ｂ) ∩ (Ａ∩Ｃ) ＝ Ａ ∩ (Ａ∩Ｃ) ∪ Ｂ ∩ (Ａ∩Ｃ)
＝ (Ａ∩Ｃ) ∪ (Ａ∩Ｂ∩Ｃ) ＝ Ａ∩Ｃ となる。
イ (Ａ∪Ｂ) ∩ Ｃ ＝ (Ａ∪Ｂ) ∩ (Ａ∪Ｃ) である。
ウ (Ａ∩Ｂ) ∪ (Ｂ∩Ａ) ＝ (Ａ∩Ｂ) ∪ (Ｂ∩Ｃ) は、式を変形せずとも成立しないことが判る。
エ 正しい。結合法則により、(Ａ∪Ｂ) ∩ Ｃ ＝ (Ａ∩Ｃ) ∪ (Ｂ∩Ｃ) がそのまま適用されている。
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