問２
全体集合Ｓ内に異なる部分集合ＡとＢがあるとき、Ａ∩Ｂに等しいものはどれか。ここで、Ａ∪ＢはＡとＢの和集合、Ａ∩ＢはＡとＢの積集合、ＡはＳにおけるＡの補集合、Ａ－ＢはＡからＢを除いた差集合を表す。
ア Ａ－Ｂ
イ (Ａ∪Ｂ) － (Ａ∩Ｂ)
ウ (Ｓ－Ａ) ∪ (Ｓ－Ｂ)
エ Ｓ－(Ａ∩Ｂ)
正解
ア
解説
ベン図で表現するとすぐに分かるが、あえて式を変形する。
Ａ∩Ｂ ＝ Ａ∪Ｂ ＝ Ｓ － (Ａ∪Ｂ)
＝ Ｓ－Ａ－Ｂ ＝ Ａ－Ｂ
ア 正しい。
Ａ－Ｂ ＝ (Ｓ－Ａ) － Ｂ ＝ Ｓ － (Ａ∪Ｂ)
＝ Ａ∪Ｂ ＝ Ａ∩Ｂ
イ (Ａ∪Ｂ) － (Ａ∩Ｂ) ＝ Ａ∩Ｂ － (Ａ∩Ｂ)
ここで、Ａ∩ＢをＸとおくと、
Ｘ －Ｘ であるが、Ｘの補集合からを除けないので、Ｘ －Ｘ ＝ Ｘ
従って、Ａ∩Ｂ － (Ａ∩Ｂ) ＝ Ａ∩Ｂ ＝ Ａ∪Ｂ
ウ (Ｓ－Ａ) ∪ (Ｓ－Ｂ) ＝ Ａ∪Ｂ
エ Ｓ－(Ａ∩Ｂ) ＝ Ａ∩Ｂ ＝ Ａ∪Ｂ
